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数学科学学院工会会员风采系列——安金鹏教授:乐享思考过程,架构多维数学世界

日期:2021-07-21 00:00信息来源:

  

 

 

人物介绍

安金鹏

北京大学数学科学学院数学系教授 ,研究方向为李群理论和相关的动力系统、数论问题。

 

一、修炼内功,潜心科研
 

数学和数学家是相互成就彼此的贵人,是见证彼此成长的守护人。安金鹏教授从小为数学着迷,当努力和天分完美搭配,他对数学的潜力通过一枚IMO的金牌得到了证明。在保送到北京大学数学科学学院之后,安金鹏正式开始了数学的探索之路,听课与自学几乎占据了他全部的本科生活,内心充盈与满足的他为他热爱的数学燃烧着属于他的芳华。本科结束后安金鹏以优异的成绩留校开始了研究生阶段的学习,在此期间他以李群为研究方向,主要涉及李群的结构与有限维表示。后来,随着研究的深入,他考虑到经典的李群理论发展得比较成熟,已经不是研究的主流,就逐渐将研究方向转为李群作用的动力系统。这一领域不仅有很多重要的问题留待探索,更吸引人的是其与数论的密切联系。

在谈及这种转变时,安金鹏着重强调了数学工作中打好基础的重要性。在他看来,在打基础和做研究的安排上,通常有两种途径:一是越快到前沿越好先看前沿的文章,边做边学,这样会发展的比较快,但可能会有弱点——即只了解一个方向的内容,而现在不同方向交叉的情况很多,当用到其他方向的知识时,就会面临较大的困难;第二个途径,如果在学生时期有条件和兴趣,最好先把基础打牢,不同方向都了解一些。不一定有非常精深的理解,但要知道这些方向要做什么事,有什么主要的结论、工具。通过这种途径,尽管可能科研的起步稍慢,但在之后的研究中会有更多的思路和方法,而不过分依赖某一种工具。安金鹏研究方向的顺利转换,也和他深厚的数学基础有关。

在加拿大做博士后期间,安金鹏对基础的重要性有了更进一步的认识。当时他的导师提出一个有应用背景的线性代数问题:任意一个3阶复矩阵是否酉相似于(1,2),(2,3),(3,1)元均为零的复矩阵。虽然这个问题看上去很初等,但是用线性代数的方法非常难做,据说很多人都做不动。在他考虑了几天之后,发现这个问题可以转化为向量丛的截面是否总有零点的问题,从而可以利用微分几何中的陈省身示性类和拓扑中的上同调理论在更广的框架下得到解决[i]。正是他对几何与拓扑比较熟悉,才能跳出线性代数的限制,用更高的观点解决眼前的问题。许多年过去,在回顾这个小问题时,他依然十分感慨于打好基础的重要性。

 

二、源头活水,引得清流
 

多年的勤奋工作在近年来逐渐有了成果。安金鹏的李群背景使其在数论、几何和动力系统领域有了一些出色的结果。在其中他比较喜爱的两个工作是从李群的角度出发对数论中的Schmidt猜想和谱几何的研究。

在Schmidt猜想方面,安金鹏证明了加权劣态逼近向量集Bad(r, s)是致胜集(winning set) [ii]。为了理解这个工作,需要对背景做一个简介。齐性动力系统作为李群作用的动力系统的一个分支,和数论中的丢番图逼近有很强的关系。最经典的丢番图逼近研究用有理数逼近无理数的优劣程度,这种逼近可以推广到向量的情形。丢番图逼近中有一个著名的猜想——Schmidt 猜想:Bad(1/3, 2/3) 和Bad(2/3, 1/3)的交集非空,其中Bad(r, s)表示权重为r,s的二维劣态逼近(badly approximable)向量集。此猜想于2011年被Badziahin, Pollington ,Velani证明 [iii]。此猜想与齐性动力系统有关。安金鹏一方面看了他们的文章,另一方面又了解到致胜集的概念,致胜集有很好的性质,可数个致胜集的交集还是致胜集,并且致胜集的Hausdorff维数等于全空间的维数。如果能证明二维的劣态逼近向量集是致胜集,那么Badziahin他们的结果自然成立,并且关于权重的条件可以去掉。以前的数学工作者也想到了这一点。

虽然Schmidt证明了Bad(1/2, 1/2) 是致胜集,但以前的主流观点还是不太相信一般的Bad(r, s)也是致胜集。安金鹏证明了Bad(r, s)是致胜集,这个工作“是让同行觉得有些惊讶的”。此后,许多国内外机构邀请他访问。其中便有德国著名的Oberwolfach研究所。在该研究所有一种特殊的会议形式:组织一批学者来学习他人的工作,再由这些学者来讲解这些工作。安金鹏关于致胜集的工作出来之后,成为了Oberwolfach研究所的主题之一,一批学者先学习他的文章,再介绍其中的细节。那时安金鹏在场,发现许多外国专家能从逻辑上看懂他的文章,却不知道他想法的由来。劣态逼近向量能翻译成动力系统的性质,从更广的角度,安金鹏与合作者提出了动力系统的Schmidt猜想。他目前还在与国内外同行一起研究该猜想的一些具体情形,尝试获得更多的进展。

另一个让安金鹏得意的工作是用李群得到谱几何的结果。谱几何主要关心的一个问题是:Laplace算子的谱一样的两个黎曼流形,其他的几何性质和拓扑性质是否一样?形象地说,能不能根据鼓的声音描绘鼓的形状?早期的研究表明Laplace算子的谱决定了流形的维数,同时流形的体积也被谱所决定[iv]。之后Milnor给出谱相同却不等距同构的流形的例子[v]。后来,安金鹏和两位合作者给出这样的例子:两个紧致无边的单连通黎曼流形,其对应的Laplace算子具有相同的谱,但两个流形并不同胚[vi]。判断谱相同的流形是否同胚是谱几何中的基本问题,在以前的例子里面,流形要么带边,要么非紧,要么不是单连通的。而他与合作者举出的例子并没有这些限制。事实上他们举出的一系列例子都是李群的齐性空间,例如SU(6)/U(3)和SU(6)/SO(4)×SU(2)。

在回顾自己的工作时,安金鹏表示,自己做的方向虽然庞杂,比如动力系统、数论、几何等方面,但都是从李群的角度出发,有着连贯的线索。

 

三、回顾过往,寄语未来

 

回顾自己学习与科研的路程,安金鹏获得了许多做研究的思路和心得。

在研究的时候,有些问题是明确的,比如前面提到的复矩阵的酉相似问题,明确的问题往往很多人都做不出来,自己能做出来的可能性就比较小。他认为,问题做不动是常态,“想做十个问题,能做出来一个就不错了。”这时候可以换其他的研究思路。当我们想要了解一个数学对象,而具体的问题比较模糊,这时可以提出很多新问题,这些问题如果解决了,或者做出非平凡的结果,都有助于更深入地了解对象。

如果在科研中遇到困难,可以尝试另一个研究思路。每个科研工作者,都有非常熟练的工具作为看家本领,别人对这些工具不熟悉,自己就能做些其他人做不了的事,形成独特性。比如在齐性动力系统方面,对于做动力系统出身的工作者,李群是相对的弱项,尽管安金鹏不太熟悉动力系统的知识,也是边做边学,但李群是强项,会有一个不太一样的视角。

安金鹏的研究工作获得了广泛的认可。而在讲台上,他也因认真负责的态度、清晰的思路和有特色的讲义编排而受同学们的欢迎。对自己的学生们,他毫不吝啬地给出了许多学习与科研的建议。他认为,在上课、看书的时候,经常会容易产生这样的困惑:一套理论从头到尾正确、完整、漂亮,但不知道起源和用处。这时应该先了解这套理论的历史发展、和其他方向的联系、现在的用处,知道它为何重要。如果不了解,学习的效率不高,就很容易陷入迷茫。安金鹏举了一个例子,复变函数的理论体系完整、漂亮,尽管有未解决的问题,但单复变已经不是主流研究方向,如果不做复变,为什么要学?事实上复变函数是解析数论中最重要的工具,如果在学复变的过程中,多了解其在复几何、解析数论等领域的应用,就会有更深刻的动机继续学习。

还有一个例子,高等代数主要处理有限维线性空间和线性映射,有同学问到:无穷维线性空间是不是不太重要?其实无穷维非常重要,它是泛函分析的研究对象。现代数学,希望把考察的对象放在一起,组成一个大的集合,这个大集合在很多时候都是无穷维空间,而且如果这个集合不具有线性性,往往需要对他们加以线性化。所以无穷维线性空间其实是描述很多数学对象的重要工具。很多平常学习的数学对象都值得更进一步地发掘,如果有这样的认识,在学习上就会有更多的动力,也更容易产生新的想法。

安金鹏在之前接受媒体采访时曾表示:“在思考数学的过程中得到是一种享受,无论一个问题能不能做出来,如果能做出来会觉得很兴奋;但是,更多的时候做不出来,即使做不出来,我自己也是一种很快乐的经历。”相信在他的数学道路上在“顺便”收获更多好的工作成果的同时,他也会收获更多的快乐。

 

References:

i. Universal subspaces for compact Lie groups (with Dragomir Djokovic), J. Reine Angew. Math. 647 (2010), 151-173.

ii. 2-dimensional badly approximable vectors and Schmidt's game, Duke Math. J. 165 (2016), no. 2, 267-284.

iii. On a problem in simultaneous Diophantine approximation: Schmidt’s conjecture. D. Badziahin, A. Pollington, S. Velani. Annals of Mathematics, 2011, 174(3): 1837-1883.

iv. S. Minakshisundaram, Eigenfunctions on Riemannian manifolds. J. Indian Math. Soc. 17 (1953), 159–165.

v.  J. Milnor, Eigenvalues of the Laplace operator on certain manifolds, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 51 (1964), 542

vi. On the dimension datum of a subgroup and its application to isospectral manifolds (with Jiu-Kang Yu and Jun Yu), J. Differential Geom. 94 (2013), no. 1, 59-85.

 

文字 | 郭子可、季策

图片 | 陈平平